Disusun sebagai persyaratan
tugas metode kumulatif
Dosen : Noor
Azis,SE,MM
Disusun oleh
Kelompok 6 :
1.
Elly sulistyowati
2.
Tri Wahyu Rudiyanto
3.
Lintang Jati Panatas
4.
Erik Setiawan
5.
Nafis Aunul Wafa
6.
Jamil Abdullah
7.
Muhammad Nova
FAKULTAS EKONOMI
UNIVERSITAS MURIA KUDUS
2015/2016
v MODEL TRANSPORTASI
Model transportasi merupakan perluasan dari persoalan LP,
dalam model transportasi dibahas mengenai penentuan rencana biaya minimum
(minimum cost) untuk transportasi (pengangkutan) single commodity dari sejumlah
lokasi sumber (sources) seperti pabrik, lokasi penambangan, pelabuhan, dsb ke
sejumlah lokasi tujuan (destinations) seperti gudang, pusat distribusi, wilayah
pemasaran, dsb.
Model transportasi dapat juga digunakan untuk persoalan
inventory controll, employment schedulling, personal assignment, dsb.
Pada dasarnya masalah
transportasi merupakan masalah LP yang dapat diselesaikan dengan metode
simpleks. Karena metode simpleks menimbulkan penyelesaian yang lebih sulit,
maka penyelesaian masalah transportasi akan lebih mudah dengan menggunakan
metode Stepping Stone, Vogel’s Approximation Methods (VAM), dan metode MODI
(Modified Distribution).
Agar suatu masalah
transportasi dapat dibuat model transportasi dan tabel transportasinya, maka
masalah transportasi tersebut harus memiliki data mengenai tingkat supply atau
kapasitas setiap lokasi sumber, tingkat demand setiap lokasi tujuan, dan biaya
transportasi per unit komoditas dari setiap lokasi sumber ke lokasi tujuan.
Karena hanya terdiri
dari satu komoditi (single commodity), maka suatu lokasi tujuan dapat memenuhi
permintaannya dari satu lokasi sumber.
Tujuan dari model transportasi adalah menentukan jumlah yang dapat
dikirim dari setiap lokasi sumber ke setiap lokasi tujuan yang memberikan total
biaya transportasi minimum.
Suatu perusahaan
memiliki tiga pabrik yang berlokasi di tiga kota yang berbeda dengan kapasitas
produksi per bulan adalah : Pabrik A = 90, Pabrik B = 60, dan Pabrik C =
50. Perusahaan tersebut juga mempunyai
tiga gudang penyimpanan hasil produksinya yang berlokasi di tiga kota yang
berbeda dengan jumlah permintaan per bulan adalah : Gudang I = 50, Gudang II =
110, dan Gudang III = 40. Diketahui biaya transportasi dari setiap pabrik ke
setiap Gudang adalah sebagai berikut :
|
Gudang I
|
Gudang II
|
Gudang III
|
Pabrik A
|
20
|
5
|
8
|
Pabrik B
|
15
|
20
|
10
|
Pabrik C
|
25
|
10
|
19
|
Tentukan total biaya transportasi minimum
dengan menggunakan (a) metode Stepping Stone, (b) VAM, dan (c) Metode MODI
· JAWAB
:
Periksa
dulu apakah Total Demand (TD) dengan Total Supply (TS) sama atau tidak.
Jika TD = TS,
maka dikatakan Tabel Transportasi seimbang (equilibrium), jadi tidak perlu ada
kolom dummy (tujuan dummy) maupun baris dummy (sumber dummy).
Jika TD > TS,
maka perlu diseimbangkan dengan menambahkan baris dummy (sumber dummy).
Jika TD < TS
atau TS > TD, maka perlu
diseimbangkan dengan menambahkan kolom dummy atau tujuan dummy.
Dalam
soal ini TD = 200 dan TS = 200, jadi tidak perlu ada kolom maupun baris dummy.
v Tentukan
tabel transportasi awal dengan metode NWC (North-West Corner), sehingga
diperoleh :
Lokasi Tujuan (Destination)
|
Gudang I |
Gudang II |
Gudang III |
TOTAL SUPPLY |
|||
PABRIK A |
50
|
20
|
40
|
5
|
|
8
|
90
|
|
|
|
|||||
PABRIK B |
|
15
|
60
|
20
|
|
10
|
60
|
|
|
|
|||||
PABRIK C |
|
25
|
10
|
10
|
40
|
19
|
50
|
|
|
|
|||||
TOTAL DEMAND |
50
|
110
|
40
|
200
|
TC0 = 50(20) + 40(5) + 60(20) + 10(10) + 40(19) = 3260
v Metode MODI (Modified
Distribution)
adalah metode untuk mendapatkan solusi optimal masalah
transportasi (total biaya transportasi mÃnimum). Metode ini bersifat eksak dan juga disebut
sebagai metode multiplier, karena dalam penghitungannya menggunakan multiplier,
yaitu multiplier baris (ui) dan multiplier kolom (vj). Metode MODI menggunakan algoritma: (1)
Menentukan ui dan vj dengan memperhatikan basic variable, yaitu sel (kotak)
yang ada isinya dan menggunakan rumus ui
+ vj = cij, (2) Menentukan indeks perbaikan, yaitu
dengan memperhatikan sel (kotak) yang kosong dan dengan menggunakan rumus Indeks Perbaikan = cij – ui
– vj, (3) Isilah sel kosong yang mempunyai Indeks Perbaikan
negatif yang dimulai dari sel kosong dengan indeks perbaikan negatif terbesar,
(4) Ulangi langkah (1) s/d (3), jika Indeks Perbaikan telah positif semua
berarti solusi optimal telah tercapai dan tidak ada sel kosong yang harus
diisi.
Ø Perhatikan tabel transportasi awal seperti contoh sebelumnya, yaitu:
Lokasi
Tujuan (Destination)
v1 = 20 v2 = 5 v3 = 14
|
Gudang I |
Gudang II |
Gudang III |
TOTAL SUPPLY |
|||||
|
|
50
|
20
|
40
|
5
|
|
8
|
90
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
15
|
60
|
20
|
|
10
|
60
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
25
|
10
|
10
|
40
|
19
|
50
|
|
|
|
|
|||||||
TOTAL DEMAND |
50
|
110
|
40
|
200
|
Ø Untuk menentukan multiplier ui dan vj, perhatikan sel
yang ada isinya (basic var):
Sel 1 – 1: u1 + v1 = c11 → 0 + v1
= 20 → v1 = 20
Sel 1 – 2: u1 + v2 = c12 → 0 + v2
= 5 → v2 = 5
Sel 2 – 2: u2 + v2 = c22 → u2 +
5 = 20 → u2 = 15
Sel 3 – 2: u3 + v2 = c32 → u3 +
5 = 10 → u3 = 5
Sel 3 – 3: u3 + v3 = c33 → 5 + v3
= 19 → v3 = 14
Ø Untuk menentukan indeks perbaikan, perhatikan sel-sel kosong dan diperoleh
tabel sebagai berikut:
Sel Kosong
|
Indeks Perbaikan
|
Sel 1 – 3
|
8 – 0 – 14 = – 6
|
Sel 2 – 1
|
15 – 15 – 20 = – 20
|
Sel 2 – 3
|
10 – 15 – 14 = – 19
|
Sel 1 – 3
|
25 – 5 – 20 = 0
|
Ø Isilah sel-sel kosong yang mempunyai indeks perbaikan negatif yang dimulai
dari sel dengan negatif terbesar. Isi
sel 2 – 1 dan diperoleh tabel transportasi berikut:
Lokasi Tujuan (Destination)
|
Gudang I |
Gudang II |
Gudang III |
TOTAL SUPPLY |
|||
PABRIK A |
|
20
|
90
|
5
|
|
8
|
90
|
|
|
|
|||||
PABRIK B |
50
|
15
|
10
|
20
|
|
10
|
60
|
|
|
|
|||||
PABRIK C |
|
25
|
10
|
10
|
40
|
19
|
50
|
|
|
|
|||||
TOTAL DEMAND |
50
|
110
|
40
|
200
|
Ø Berikutnya isi sel 2 – 3 dan diperoleh tabel berikut:
Lokasi Tujuan (Destination)
|
Gudang I |
Gudang II |
Gudang III |
TOTAL SUPPLY |
|||
PABRIK A |
|
20
|
90
|
5
|
|
8
|
90
|
|
|
|
|||||
PABRIK B |
50
|
15
|
|
20
|
10
|
10
|
60
|
|
|
|
|||||
PABRIK C |
|
25
|
20
|
10
|
30
|
19
|
50
|
|
|
|
|||||
TOTAL DEMAND |
50
|
110
|
40
|
200
|
Ø Berikutnya isi sel 1 – 3 dan diperoleh tabel berikut, kemudian dihitung
multiplier ui dan vj:
Lokasi
Tujuan (Destination)
v1 = 13 v2 = 5 v3 = 8
|
Gudang I |
Gudang II |
Gudang III |
TOTAL SUPPLY |
|||||
|
|
|
20
|
60
|
5
|
30
|
8
|
90
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
50
|
15
|
|
20
|
10
|
10
|
60
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
25
|
50
|
10
|
|
19
|
50
|
|
|
|
|
|||||||
TOTAL DEMAND |
50
|
110
|
40
|
200
|
Ø Menghitung multiplier ui dan vj:
Sel 1 – 2: u1 + v2 = c12 → 0 + v2
= 5 → v2 = 5
Sel 1 – 3: u1 + v3 = c13 → 0 + v3
= 8 → v3 = 8
Sel 2 – 3: u2 + v3 = c23 → u2 +
8 = 10 → u2 = 2
Sel 2 – 1: u2 + v1 = c21 → 2 + v1
= 15 → v1 = 13
Sel 3 – 2: u3 + v2 = c32 → u3 +
5 = 10 → u3 = 5
Ø Tabel Indeks Perbaikan:
Sel Kosong
|
Indeks Perbaikan
|
Sel 1 – 1
|
20 – 0 – 13 = 7
|
Sel 2 – 2
|
20 – 2 – 5 = 13
|
Sel 3 – 1
|
25 – 5 – 13 = 7
|
Sel 3 – 3
|
19 – 5 – 8 = 6
|
Dalam tabel tersebut tampak indeks perbaikan untuk semua sel kosong sudah
positif semua, ini berarti bahwa solusi optimal telah tercapai. Jadi total
biaya transportasi mÃnimum sesuai dengan tabel transportasi di atas adalah :
TCmin = 60(5) + 30(8) + 50(15) + 10(10) + 50(10) = 1890
Catatan: Dalam metode MODI, jumlah basic variable adalah m + n – 1 dengan m
banyaknya baris dan n banyaknya kolom. Jika basic variable < (m + n – 1),
maka masalah transportasi menghadapi masalah degeneracy. Untuk mengatasinya dilakukan dengan
mengisikan angka nol pada sel (kotak) tertentu.
Ø Soal-Soal Latihan:
1.
Tabel berikut
menunjukkan biaya angkut per unit barang X dari Pabrik A, B, dan C ke Gudang I,
II, dan III.
|
Gudang I
|
Gudang II
|
Gudang III
|
Pabrik A
|
11
|
7
|
8
|
Pabrik B
|
9
|
12
|
6
|
Pabrik C
|
5
|
10
|
9
|
Diketahui kapasitas produksi Pabrik A = 100, Pabrik B = 150, dan Pabrik C =
200, sedangkan jumlah permintaan setiap gudang adalah Gudang I = 125, Gudang II
= 100, dan Gudang III = 175. Tentukanlah solusi optimal untuk masalah
transportasi di atas dengan: (1) metode Stepping Stone, (2) VAM, (3) Check
jawaban nomor (1) dan (2) dengan MODI.
2.
Tabel berikut menunjukkan
biaya angkut per unit barang Y dari Pabrik A, B, dan C ke Gudang I, II, dan
III.
|
Gudang I
|
Gudang II
|
Gudang III
|
Pabrik A
|
10
|
3
|
7
|
Pabrik B
|
5
|
8
|
2
|
Pabrik C
|
12
|
11
|
4
|
Diketahui kapasitas produksi Pabrik A = 250, Pabrik B = 250, dan Pabrik C =
200, sedangkan jumlah permintaan setiap gudang adalah Gudang I = 200, Gudang II
= 200, dan Gudang III = 250. Tentukanlah solusi optimal untuk masalah
transportasi di atas dengan: (1) metode Stepping Stone, (2) VAM, (3) Check
jawaban nomor (1) dan (2) dengan MODI.
3.
Tabel berikut
menunjukkan biaya angkut per unit per km untuk barang Z dari Pabrik A, B, dan C
ke Gudang I, II, III, IV, dan V.
|
Gudang I
|
Gudang II
|
Gudang III
|
Gudang IV
|
Gudang V
|
Pabrik A
|
5
|
8
|
6
|
6
|
3
|
Pabrik B
|
4
|
7
|
7
|
6
|
5
|
Pabrik C
|
8
|
4
|
6
|
6
|
4
|
Diketahui kapasitas produksi Pabrik A = 800, Pabrik B = 600, dan Pabrik C =
1100, sedangkan jumlah permintaan setiap gudang adalah Gudang I = 400, Gudang
II = 400, Gudang III = 500, Gudang IV = 400, dan Gudang V = 800. Tentukanlah
solusi optimal untuk masalah transportasi di atas dengan: (1) metode Stepping
Stone, (2) VAM, (3) Check jawaban nomor (1) dan (2) dengan MODI.
Ø Jawaban Nomor 1:
1. Dengan metode Stepping
Stone
Tabel
Transportasi awal:
Lokasi Tujuan (Destination)
|
Gudang I |
Gudang II |
Gudang III |
Gudang Dummy |
TS |
|||||
PABRIK A |
100
|
11
|
|
7
|
|
8
|
|
0
|
100
|
|
|
|
|
|
|||||||
PABRIK B |
25
|
9
|
100
|
12
|
25
|
6
|
|
0
|
150
|
|
|
|
|
|
|||||||
PABRIK C |
|
5
|
|
10
|
150
|
9
|
50
|
0
|
200
|
|
|
|
|
|
|||||||
TD |
125
|
100
|
175
|
50
|
450
|
|||||
TCo = 100(11) + 25(9) + 100(12) + 25(6) + 150(9) + 50(0) = 4025
Tabel
Transportasi Perbaikan Pertama:
Lokasi Tujuan (Destination)
|
Gudang I |
Gudang II |
Gudang III |
Gudang Dummy |
TS |
|||||
PABRIK A |
|
11
|
100
|
7
|
|
8
|
|
0
|
100
|
|
|
|
|
|
|||||||
PABRIK B |
125
|
9
|
|
12
|
25
|
6
|
|
0
|
150
|
|
|
|
|
|
|||||||
PABRIK C |
|
5
|
|
10
|
150
|
9
|
50
|
0
|
200
|
|
|
|
|
|
|||||||
TD |
125
|
100
|
175
|
50
|
450
|
|||||
TC1 = 100(7) + 125(9) + 25(6) + 150(9) + 50(0) = 3325
Tabel
Transportasi Perbaikan Kedua:
Lokasi Tujuan (Destination)
|
Gudang I |
Gudang II |
Gudang III |
Gudang Dummy |
TS |
|||||
PABRIK A |
|
11
|
100
|
7
|
|
8
|
|
0
|
100
|
|
|
|
|
|
|||||||
PABRIK B |
|
9
|
|
12
|
150
|
6
|
|
0
|
150
|
|
|
|
|
|
|||||||
PABRIK C |
125
|
5
|
|
10
|
25
|
9
|
50
|
0
|
200
|
|
|
|
|
|
|||||||
TD |
125
|
100
|
175
|
50
|
450
|
|||||
TC2 = 100(7) + 150(6) + 125(5) + 25(9) + 50(0) = 2450
2. Dengan menggunakan VAM
|
GI
|
GII
|
GIII
|
GD
|
TS1
|
TS2
|
TS3
|
TS4
|
TS5
|
BB1
|
BB2
|
BB3
|
BB4
|
BB5
|
PA
|
11
|
7
|
8
|
0
|
100
|
50
|
50
|
50
|
0
|
7
|
1
|
1
|
1
|
-
|
PB
|
9
|
12
|
6
|
0
|
150
|
150
|
150
|
0
|
0
|
6
|
3
|
6
|
-
|
-
|
PC
|
5
|
10
|
9
|
0
|
200
|
200
|
75
|
75
|
75
|
5
|
4
|
3
|
1
|
1
|
TD1
|
125
|
100
|
175
|
50
|
450
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
TD2
|
125
|
100
|
175
|
0
|
|
400
|
|
|
|
|
|
|
|
|
TD3
|
0
|
100
|
175
|
0
|
|
|
275
|
|
|
|
|
|
|
|
TD4
|
0
|
100
|
25
|
0
|
|
|
|
125
|
|
|
|
|
|
|
TD5
|
0
|
50
|
25
|
0
|
|
|
|
|
75
|
|
|
|
|
|
BK1
|
4
|
3
|
2
|
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BK2
|
4
|
3
|
2
|
-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BK3
|
-
|
3
|
2
|
-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BK4
|
-
|
3
|
1
|
-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sel PA
– GD diisi sebanyak 50, TS PA bersisa 50 dan TD GD
habis, kolom GD dihapus.
Sel PC
– GI diisi sebanyak 125, TS PC bersisa 75 dan TD GI
habis, kolom GI dihapus.
Sel PB
– GIII diisi sebanyak 150, TD GIII bersisa 25 dan TS PB
habis, baris PB dihapus.
Sel PA
– GII diisi sebanyak 50, TD GII bersisa 50 dan TS PA
habis, baris PA dihapus.
Sel PC
– GII diisi sebanyak 50 dan sel PC – GIII
diisi sebanyak 25
Tabel
Transportasi akhir berdasarkan VAM:
Lokasi Tujuan (Destination)
|
Gudang I |
Gudang II |
Gudang III |
Gudang Dummy |
TS |
|||||
PABRIK A |
|
11
|
50
|
7
|
|
8
|
50
|
0
|
100
|
|
|
|
|
|
|||||||
PABRIK B |
|
9
|
|
12
|
150
|
6
|
|
0
|
150
|
|
|
|
|
|
|||||||
PABRIK C |
125
|
5
|
50
|
10
|
25
|
9
|
|
0
|
200
|
|
|
|
|
|
|||||||
TD |
125
|
100
|
175
|
50
|
450
|
|||||
TC = 50(7) + 50(0) + 150(6) + 125(5) + 50(10) + 25(9) = 2600
v VAM (Vogel’s
Approximation Methods)
adalah metode untuk mendapatkan solusi optimal masalah
transportasi (TC mÃnimum). Metode ini
bersifat semi eksak dan lebih eksak dibanding Metode Stepping Stone. Metode ini menerapkan algoritma sebagai
berikut: (1) Tentukan perbedaan dua biaya terkecil untuk masing-masing kolom
dan baris, (2) Tentukan perbedaan terbesar hasil langkah ke – 1, (3) Tentukan
sel yang akan diisi dengan cara memilih sel yang memiliki biaya transportasi
terkecil pada kolom atau baris terpilih pada langkah ke – 2, dan (4) hapuslah baris atau kolom
yang salah sel-selnya telah disisi dengan kapasitas penuh (sama dengan TS atau
TD). Ulangi algoritma tersebut sampai
dengan TS dan TD habis disikan ke sel-sel yang telah ditentukan.
Perhatikan Tabel Biaya Transportasi sebagai berikut:
Tabel 1
|
Gudang I
|
Gudang II
|
Gudang III
|
Total Supply (TS)
|
Beda Baris (BB)
|
Pabrik A
|
20
|
5
|
8
|
90
|
3
|
Pabrik B
|
15
|
20
|
10
|
60
|
5
|
Pabrik C
|
25
|
10
|
19
|
50
|
9
|
Total Demand
(TD)
|
50
|
110
|
40
|
200
|
|
Beda Kolom (BK)
|
5
|
5
|
2
|
|
|
Perhatikan
Tabel 1 tersebut BB dan BK terbesar adalah
9, jadi terpilih baris C. Pada baris C biaya terkecil adalag 10, berarti sel C
– II diisi sebanyak 50. Jadi TD Gudang II bersisa 60 dan TS Pabrik C habis,
sehingga baris C dihapus. Tabelnya
menjadi:
Tabel 2
|
Gudang I
|
Gudang II
|
Gudang III
|
Total Supply (TS)
|
Beda Baris (BB)
|
Pabrik A
|
20
|
5
|
8
|
90
|
3
|
Pabrik B
|
15
|
20
|
10
|
60
|
5
|
Total Demand
(TD)
|
50
|
60
|
40
|
150
|
|
Beda Kolom (BK)
|
5
|
15
|
2
|
|
|
Perhatikan Tabel
2 tersebut BB dan BK terbesar adalah 15, jadi terpilih kolom II. Pada Kolom II
biaya terkecil adalah 5, berarti sel A – II diisi sebanyak 60. Jadi TS Pabrik A
bersisa 30 dan TD Gudang II habis, sehingga Kolom II dihapus. Tabelnya menjadi:
Tabel 3
|
Gudang I
|
Gudang III
|
Total Supply (TS)
|
Beda Baris (BB)
|
Pabrik A
|
20
|
8
|
30
|
12
|
Pabrik B
|
15
|
10
|
60
|
5
|
Total Demand
(TD)
|
50
|
40
|
90
|
|
Beda Kolom (BK)
|
5
|
2
|
|
|
Perhatikan Tabel
3 tersebut BB dan BK terbesar adalah 12, jadi terpilih baris A. Pada baris A
biaya terkecil adalah 8, berarti sel A – III diisi sebanyak 30. Jadi TD Gudang
III bersisa 10 dan TS Pabrik A habis, sehingga baris A dihapus. Tabelnya
menjadi:
Tabel 4
|
Gudang I
|
Gudang III
|
Total Supply (TS)
|
Beda Baris (BB)
|
Pabrik B
|
15
|
10
|
60
|
5
|
Total Demand
(TD)
|
50
|
10
|
60
|
|
Beda Kolom (BK)
|
-
|
-
|
|
|
Perhatikan Tabel
4, karena tersisa satu baris saja, maka sel B – I diisi sebanyak 50 dan sel B –
III diisi sebanyak 10. Dalam hal ini TD
dan TS telah habis dipindahkan ke sel-sel terpilih, yaitu:
Sel C – II diisi
sebanyak 50
Sel A – II diisi
sebanyak 60
Sel A – III diisi
sebanyak 30
Sel B – I diisi
sebanyak 50
Sel B – III diisi
sebanyak 10
Tabel
Transportasi optimal dengan VAM diperoleh sebagai berikut:
Lokasi Tujuan (Destination)
|
Gudang I |
Gudang II |
Gudang III |
TOTAL SUPPLY |
|||
PABRIK A |
|
20
|
60
|
5
|
30
|
8
|
90
|
|
|
|
|||||
PABRIK B |
50
|
15
|
|
20
|
10
|
10
|
60
|
|
|
|
|||||
PABRIK C |
|
25
|
50
|
10
|
|
19
|
50
|
|
|
|
|||||
TOTAL DEMAND |
50
|
110
|
40
|
200
|
TC3 = 60(5) + 30(8) + 50(15) + 10(10) + 50(10) = 1890
Tidak ada komentar:
Posting Komentar